已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=12x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线有公共点P（x0，y0），且在点P（x0，y0）处的切线是同一条直线．（1）若a=1，求P（x0，y0）及b的值；（2）用-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=12x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=

1

2

x2+2ax ， g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线有公共点P（x₀，y₀），且在点P（x₀，y₀）处的切线是同一条直线．
（1）若a=1，求P（x₀，y₀）及b的值；
（2）用a来表示b，并求b的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若a=1时，f(x)=

1

2

x2+2x， g(x)=3lnx+b
分别求导数：f′(x)=x+2， g′(x)=

3

x

…（2分）
∵在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴f′(x0)=x0+2， g′(x0)=

3

x0

，且x0+2=

3

x0

，解得：x₀=-3或1--（4分）
∵定义在（0，+∞）上，
∴x₀=-3舍去，将x₀=1代入f(x)=

1

2

x2+2x得y0=

5

2

…（6分）
∴公共点P(1，

5

2

)，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴b=

5

2

…（8分）
（2）分别求导数：f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

…（10分）
在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴x0+2a=

3a2

x0

，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）
∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到：b=

5

2

a2-3a2lna（ a＞0）…（13分）
令b=h(t)=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得t=e

1

3

…（14分）
当h'（t）＞0时，t∈(0，e

1

3

)
当h'（t）＜0时，t∈(e

1

3

，+∞)…（15分）
∴当t=e

1

3

时h（t）取到最大值，即bmax=

5

2

e

2

3

-3e

2

3

lne

1

3

=

3

2

e

2

3

----（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=12x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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