已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，满足Sn2+2Sn+1=anSn（n≥2）．（I）计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式；（II）并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，满足Sn2+2Sn+1=anSn（n≥2）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=-

2

3

，满足S_n²+2S_n+1=a_nS_n（n≥2）．
（I）计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表达式；
（II）并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题设S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-

2

3

，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，∴

1

S2

=

2

3

-2，∴S₂=-

3

4

．
同理可求得 S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（II）猜想S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=-

2

3

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

，则当n=k+1时，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1

=ak+1-2，
∴SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，∴

1

SK+1

=

K+1

K+2

-2=

-K-3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，满足Sn2+2Sn+1=anSn（n≥2）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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