是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…n2+（n-1）2+…21+12=an（bn2+c）对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…n2+（n-1）2+…21+12=an（bn2+c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在常数a、b、c使等式1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2¹+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

假设存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2¹+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N*都成立．
当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19．
解方程组

a(b+c)=1

a(4b+c)=3

3a(9b+c)=19

，解得

a=

1

3

b=2c

c≠0

证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．
②假设n=k（k∈N*）时等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2¹+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)；
当n=k+1时，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2¹+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)+（k+1）²+k²=

1

3

(k+1)[2(k+1)2+1]；
即n=k+1时，等式成立．
因此存在a=

1

3c

，b=2c，c≠0常数，使等式对一切n∈N*都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…n2+（n-1）2+…21+12=an（bn2+c..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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