发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-01 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： 当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立， x≠0时，证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当m=1时，原不等式成立； 当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x， 因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx， 则当m=k+1时，∵x＞-1， ∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k?（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x， 所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立． （Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得(1-
于是(1-
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥6时，(1-
即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形： 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42=52，等式成立； 当n=3时，33+43+53=63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n只有n=2，3． 解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x＞-1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx． ① （ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立； （ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时， 因为x＞-1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0． 于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x， 所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． （Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵(1-
∴[(1-
而由（Ⅰ），(1-
∴(1-
（Ⅲ）假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立， 即有(
又由（Ⅱ）可得(
=(1-
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 下同解法1． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知m，n为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。