本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分（1）二阶矩阵M对应的变换将向量1-1，-21分别变换成向量3-2，-21，直线-数学试题及答案

1、试题题目：本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分
（1）二阶矩阵M对应的变换将向量

1

-1

，

-2

1

分别变换成向量

3

-2

，

-2

1

，直线l在M的变换下所得到的直线l′的方程是2x-y-1=0，求直线l的方程．
（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：

x=s+

1

s

y=s-

1

s

（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柯西不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M=

a	b
c	d

，则由题知

a	b
c	d

1

-1

=

3

-2

，

a	b
c	d

-2

1

=

-2

-1

所以

a-b=3

c-d=-2

-2a+b=-2

-2c+d=-1

，解得

a=-1

b=-4

c=3

d=5

，所以M=

-1	-4
3	5

．
设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x₀，y₀），
那么

-1	-4
3	5

x

y

=

x0

y0

即

x0=-x-4y

y0=3x+5y

．
因为2x₀-y₀-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直线l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直线的参数方程为

x=-3+

3

2

t

y=

1

2

t

t为参数），
曲线

x=s+

1

s

y=s-

1

s

s为参数）可以化为x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得t2-6

3

t+10=0．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

17

．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）?（x²+y²+z²）≥（1?x+2?y+2?z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

2

＞0

x2+y2+z2=1

即x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满..”的主要目的是检查您对于考点“高中柯西不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柯西不等式”。

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