在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜2)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，-数学试题及答案

1、试题题目：在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]

（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90⁰且a=

2

．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

试题来源：揭阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=

1

2

DE?EAsin45°=

2

4

，
∴VBCF-ADE=S△ADE?EF=

2

4

．
（2）证法一：过点M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
过点N作NN₁⊥CF交BF于N₁，连接M₁N₁，
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵

MM1

AB

=

FM

FA

=

CN

CE

=

NN1

EF

，∴MM₁=NN₁
∴四边形MNN₁M₁为平行四边形，
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．
证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则

CN

NE

=

FM

MA

=

FG

GE

，∴NG∥CF．

又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
∵θ=90⁰且a=

2

．∴NQ=

1

2

，MQ=

(

1

2

)2+(

2

)2

=

3

2

∴MN=

2

，--

--
∴cos∠NMQ=

QM2+MN2-NQ2

2MN?QM

=

6

3

．
即MN与AC所成角的余弦值为

6

3

．
证法二：∵θ=90⁰且a=

2

．
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)，得

AC

=(-1，-1，1)，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，
∴cos＜

AC

，

MN

＞=

1

3

?

2

=

6

3

，
所以与AC所成角的余弦值为

6

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：