离心率为22的椭圆C1的长轴两端点分别是双曲线C2：x2-y24=1的两焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）直线y=x+m与椭圆C1交于A，B两点，与双曲线C2两条渐近线交于P，Q两点，且P，Q在A，B-数学试题及答案

1、试题题目：离心率为22的椭圆C1的长轴两端点分别是双曲线C2：x2-y24=1的两焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

离心率为

2

的椭圆C₁的长轴两端点分别是双曲线C₂：x2-

y2

4

=1的两焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）直线y=x+m与椭圆C₁交于A，B两点，与双曲线C₂两条渐近线交于P，Q两点，且P，Q在A，B之间，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，求m的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意知a²=1+4=5，所以a=

5

，
又e=

2

，所以

c

5

=

2

，解得c=

10

2

，则b²=a²-c²=5-

5

2

=

5

2

．
故椭圆C₁的方程为

x2

5

+

2y2

5

=1．
（2）由

y=x+m

x2

5

+

2y2

5

=1

，得3x²+4mx+2m²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-5

3

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

?

16

9

m2-

4(2m2-5)

3

=

2

?

60-8m2

9

．
双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，
由

y=x+m

y=2x

解得

x=m

y=2m

，由

y=x+m

y=-2x

解得

x=-

m

3

y=

2

3

m

，
所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-

m

3

，

2

3

m），
|PQ|=

(m+

m

3

)2+(2m-

2

3

m)2

=

32

9

m2

，
因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，
故

2

?

60-8m2

9

=3

32

9

m2

，解得m=±

570

38

．
故m的值为±

570

38

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“离心率为22的椭圆C1的长轴两端点分别是双曲线C2：x2-y24=1的两焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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