已知点A、B分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=63，S△ABC=3（1）求椭圆方程；（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A、B分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知点A、B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

（1）求椭圆方程；
（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于

1

2

|PQ|时的直线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵椭圆的离心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

∴

c

a

=

6

3

1

2

×2a×b=

3

∴a=

3

，b=1，c=

2

∴所求椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=

2

，代入椭圆方程，可得y=±

3

，∴|PQ|=

2

3

而线段PQ的中点到原点的距离等于

2

，不合题意；
当直线l的斜率存在时，l的方程为y=k（x-

2

），则OP⊥OQ
直线方程与椭圆方程联立，可得（1+3k²）x²-6

2

k2x+6k²-3=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6

2

k2

1+3k2

，x₁x₂=

6k2-3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=

5k2-3

1+3k2

=0
∴k=±

15

5

∴直线l的方程为y=

15

5

（x-

2

）或y=-

15

5

（x-

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A、B分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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