已知椭C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF1F2的周长为4+22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF₁F₂的周长为4+2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x²+y²=

4

3

上动点P（x₀，y₀）（x₀-y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=

2

c，
又因为△PF₁F₂的周长为4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．　　　　　 …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为x0x+y0y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立方程

x2

4

+

y2

2

=1

x0x+y0y=

4

3

，消去y得（

y

20

+2

x

20

）x²-

16

3

x0x+

32

9

-4

y

20

=0，
∴x₁+x₂=

16

3

x0

y

20

+2

x

20

，x₁x₂=

32

9

-4

y

20

y

20

+2

x

20

，…（8分）
∴y1y2=

1

y

20

(

4

3

-x0x1)(

4

3

-x0x2)=

16

9

-4

x

20

y

20

+2

x

20

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32

9

-4

y

20

y

20

+2

x

20

+

16

9

-4

x

20

y

20

+2

x

20

=0
∴∠QOR=90°为定值． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：