先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=1+f(x)1-f(x)，试问：f（x）是-数学试题及答案

1、试题题目：先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-08 07:30:00

试题原文

先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）①求证：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=

1+f(x)

1-f(x)

，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①证明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan

π

4

1-tanxtan

π

4

=

1+tanx

1-tanx

．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意x≠

π

2

+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为f(x+2a)=f(x+a+a)=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+

1+f(x)

1-f(x)

1-

1+f(x)

1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=-

1

-

1

f(x)

=f(x)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx..”的主要目的是检查您对于考点“高中正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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