已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+1+cos2x=2sin2xcos

π

6

+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）f（x）取得最大值3，此时2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

6

+kπ，k∈Z
故x的取值集合为{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}
（2）由2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）得，x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
（3）f（x）≥2?2sin（2x+

π

6

）+1≥2?sin（2x+

π

6

）≥

1

2

?

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ?kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）
故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+2cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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