设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．（1）求α的取值范围．（2）求tan（α+β）的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．（1）求α的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

设关于x的方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．
（1）求α的取值范围．（2）求tan（α+β）的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∴方程化为sin（x+

π

3

）=-

a

2

．
∵方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解，
∴sin（x+

π

3

）≠sin

π

3

=

3

2

．
又sin（x+

π

3

）≠±1（∵当等于

3

2

和±1时仅有一解），
∴|-

a

2

|＜1．且-

a

2

≠

3

2

．即|a|＜2且a≠-

3

．
∴a的取值范围是（-2，-

3

）∪（-

3

，2）．
（Ⅱ）∵α、β是方程的相异解，
∴sinα+

3

cosα+a=0①．
sinβ+

3

cosβ+a=0②．
①-②得（sinα-sinβ）+

3

（cosα-cosβ）=0．
∴2sin

α-β

2

cos

α+β

2

-2

3

sin

α+β

2

sin

α-β

2

=0，又sin

α+β

2

≠0，
∴tan

α+β

2

=

3

．
∴tan（α+β）=

2tan

α+β

2

1-tan2

α+β

2

=

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．（1）求α的..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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