如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图所示，三棱柱

中，四边形

为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，
面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；

（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。

试题来源：0103 模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC，因为E，D分别为AB，A′B中点，所以ED=AA′，ED∥AA′，所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，所以EF∥CD，又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′，所以EF∥平面A′BC′。
证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′，由题可得AO⊥BC，又因为面ABC⊥面，所以AO⊥面，，，所以，可以建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=2，可得，，，，，，所以，所以，则，不妨取，则，所以，
（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M，连接BM，BF，因为BF⊥CC′，CC′∥AA′，所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上，所以，所以，不妨设BC=2，则，同理可得，所以，
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则；又，则，不妨取，则，所以，。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC，因为E，D分别为AB，A′B中点，所以ED=AA′，ED∥AA′，所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，所以EF∥CD，又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′，所以EF∥平面A′BC′。
证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′，由题可得AO⊥BC，又因为面ABC⊥面，所以AO⊥面，，，所以，可以建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=2，可得，，，，，，所以，所以，则，不妨取，则，所以，
（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M，连接BM，BF，因为BF⊥CC′，CC′∥AA′，所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上，所以，所以，不妨设BC=2，则，同理可得，所以，
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则；又，则，不妨取，则，所以，。