已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设cn=bn+8n+3，数列-数学试题及答案

1、试题题目：已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知点（n，a_n）（n∈N^*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n是6S_n与8n的等差中项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{d_n}的前n项和D_n；
（3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁，x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列{

g(

dn+1

2

)

dn+1

}是否为等差数列，并说明理由．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意得a_n=-2n-2，故a₁=-4．
又2T_n=6S_n+8n，即T_n=3S_n+4n，
∴当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=3（S_n-S_n-1）+4=3a_n+4=-6n-2．
又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8，也适合上式，
∴b_n=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2d_n+1，
因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
∴{d_n+1}是首项为d₁+1=4，公比为2的等比数列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴d_n=2ⁿ⁺¹-1．
D_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-n=

4(2n-1)

2-1

-n=2n+2-n-4．
（Ⅲ）g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
则

g(

dn+1

2

)

dn+1

=

g(2n)

2n+1

=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

=

a

4

+

g(

dn-1+1

2

)

dn-1+1

∴

g(

dn+1

2

)

dn+1

-

g(

dn-1+1

2

)

dn-1+1

=

a

4

因为已知a为常数，则数列{

g(

dn+1

2

)

dn+1

}是等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：