在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，Sn2=an(Sn-12)（1）求证{1Sn}为等差数列，并求an；（2）设bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）是否存在自然数m，使得对-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，Sn2=an(S..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)
（1）求证{

1

Sn

}为等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，∴

1

S1

=1
∴{

1

Sn

}是1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=

1

2n-1

∴当n≥2时，a_n=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=1，
∴a_n=

1，n=1

-

2

(2n-1)(2n-3)

，n≥2

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
当x≥1时，

1

3

≤T(x)＜

1

2

，∴T_n＜

1

2

令

1

4

(m-8)≥

1

2

，则m≥10，
∴存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立，m的最小值为10．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，Sn2=an(S..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：