（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn-an}为等比数列；（3）求{bn}前-数学试题及答案

1、试题题目：（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

4

且S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，数列{b_n}满足b₁=-

119

4

且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，得S_n-S_n-1=a_n-1+

1

2

，2a_n=2a_n-1+1，a_n-a_n-1+

1

2

…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1

2

n-

1

4

（2）证明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n，
∴b_n-a_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

b_n-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

（b_n-1-

1

2

n+

3

4

）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-

1

2

（n-1）+

1

4

=b_n-1-

1

2

n+

3

4

；
∴由上面两式得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，又b₁-a₁=-

119

4

-

1

4

=-30
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×(

1

3

)n-1，
∴bn=an-30×(

1

3

)n-1=

1

2

n-

1

4

-30×(

1

3

)n-1，
b_n-b_n-1=

1

2

n-

1

4

-30×(

1

3

)n-1-

1

2

(n-1)+

1

4

+30×(

1

3

)n-2
=

1

2

+ 30×(

1

3

)n-2(1-

1

3

)
=

1

2

+ 20×(

1

3

)n-2＞0，∴{b_n}是递增数列
当n=1时，b₁=-

119

4

＜0；当n=2时，b₂=

3

4

-10＜0；
当n=3时，b₃=

5

4

-

10

3

＜0；当n=4时，b₄=

7

4

-

10

9

＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃=

1

4

(1+3+5)-30-10-

10

3

=-41

1

12

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：