设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同-数学试题及答案

1、试题题目：设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4a1+a2+a3+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

设非零复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅满足

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

a1+a2+a3+a4+a5=4(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

)=S

其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：设

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，
由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若a1q2=±2，则±2(

1

q2

+

1

q

+1+q+q2)=S，
∴S=±2[(q+

1

q

)2+(q+

1

q

)-1]=±2[（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

]，
∴由已知条件得（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

∈R，且|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1．
令q+

1

q

+

1

2

=h（cosθ+isinθ），则h2(cos2θ+isin2θ)-

5

4

∈R，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-

5

4

≤1，
∴

1

4

≤h2(cos2θ+isin2θ)≤

9

4

，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+

1

q

∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
则q+

1

q

=（r+

1

r

）cosα+i（r-

1

r

）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，则q=±r为实数，
此时q+

1

q

≥2，或q+

1

q

≤-2．
此时，q+

1

q

+

1

2

≥5，或q+

1

q

+

1

2

≤-

3

2

．
此时，由|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五点在同一圆上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，则|q|=1，
此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五点共圆．
综上，复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4a1+a2+a3+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：