已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记Tn=|b1a1|+|b2a2|+|b3-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且对于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a1+a4=-

7

16

，且对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），记Tn=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差，
∴2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q．
整理得：2a1(1+q+q2)=a1(2+q)．
∵a₁≠0，∴，2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，又q≠0，∴q=-

1

2

．
又a1+a4=a1(1+q3)=-

7

16

，
把q=-

1

2

代入后可得a1=-

1

2

．
所以，an=a1qn-1=(-

1

2

)×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n，∴|

bn

an

|=|

n

(-

1

2

)n

|=n?2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n?2n．
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n+n?2n+1．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1=

2×(1-2n)

1-2

-n?2n+1
∴Tn=-(

2-2n+1

1-2

-n?2n+1)=(n-1)?2n+1+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，
则（n-1）²≤m[（n-1）?2ⁿ⁺¹+2-n-1]对于n≥2恒成立，
也就是（n-1）²≤m（n-1）?（2ⁿ⁺¹-1）对于n≥2恒成立，
∴m≥

n-1

2n+1-1

对于n≥2恒成立，
令f(n)=

n-1

2n+1-1

，
∵f(n+1)-f(n)=

n

2n+2-1

-

n-1

2n+1-1

=

(2-n)?2n+1-1

(2n+2-1)(2n+1-1)

＜0
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=

2-1

23-1

=

1

7

．
∴m≥

1

7

．
所以，（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[

1

7

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且对于..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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