已知函数f（x）=12x2+(2a-1)x+a2lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+(2a-1)x+a2lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x2+(2a-1)x+a2lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f（x）=

1

2

x 2 +x+lnx，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=x+1+

1

x

，因此，f′（1）=3，
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，
又f（1）=

3

2

，故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-

3

2

=3（x-1），
所以曲线，即3x-y-

3

2

=0；
（Ⅱ）因为 f /(x)=x+2a-1+

a 2

x

=

x 2+(2a-1)x+a 2

x

，x∈（0，+∞），
令g（x）=x²+（2a-1）x+a²，x∈（0，+∞），
（1）当a≥

1

4

时，g（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，故当a≥

1

4

时，f′（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，
所以，当a≥

1

4

时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
（2）当0＜a＜

1

4

时，由g（x）=0，得x=

1-2a±

1-4a

2

，
故f（x）=0的两个根为x 1=

1-2a-

1-4a

2

，x 2=

1-2a+

1-4a

2

①由f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂，故函数的单调递减区间为（x₁，x₂）；
②由f′（x）＞0，得0＜x＜x₁，或x＞x₂，故函数的单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞）；
故当0＜a＜

1

4

时，函数的单调增区间为（0，

1-2a-

1-4a

2

）和（

1-2a+

1-4a

2

，+∞）；函数的单调递减区间为（

1-2a-

1-4a

2

，

1-2a+

1-4a

2

）
综上所述：
当a≥

1

4

时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
当0＜a＜

1

4

时，函数的单调增区间为（0，

1-2a-

1-4a

2

）和（

1-2a+

1-4a

2

，+∞）；函数的单调递减区间为（

1-2a-

1-4a

2

，

1-2a+

1-4a

2

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+(2a-1)x+a2lnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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