已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+x²+ax+b．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）令f'（x）＞0，
解得x＞

1

3

或x＜-1，令f'（x）＜0，解得-1＜x＜

1

3

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），(

1

3

，+∞)，f（x）的单调递减区间为(-1，

1

3

)（4分）
（2）因为函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，
所以方程x³+x²+ax+b-ax=0只有一个解，即x³+x²+b，则其图象与x轴只有一个交点，
g'（x）=3x²+2x，令g'（x）=3x²+2x=0，所以x₁=0，x₂=-

2

3

，（7分）
可列表：
魔方格

∴g（x）在x₁=0处取得极小值b，在x₂=-

2

3

取得极大值

4

27

+b
要使g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴只有一个交点，
只需

b＞0

4

27

+b＞0

或

b＜0

4

27

+b＜0

，解得b＞0或b＜-

4

27

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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