已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；（2）若函数f（x）的定义域为I，对任意[a，b]?I，存在x0∈[a，b]，使等式f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）若函数f（x）的定义域为I，对任意[a，b]?I，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求证：方程f（x）=x不存在异于α的实数根．

试题来源：顺德区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令h（x）=x-f（x），
∵h'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）为增函数．
又∵h（α）=α-f（α）=0，
∴当x＞α时，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假设方程f（x）=x有异于α的实根β，即f（β）=β，
不妨设β＞α，则β-α=f（β）-f（α），
由题意在α与β之间必存在一点c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因为α≠β，所以必有f'（c）=1，但这与0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在异于α的实数根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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