定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
有f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

，（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=

-

2x

4x+1

，x∈(-1，0)

0，x=0，±1

2x

4x+1

，x∈(0，1)

（8分）
（2）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函数f（x）的一个周期（2分）
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=

-

2x

4x+1

，x-2k∈(-1，0)

0，x-2k=0，±1

2x

4x+1

，x-2k∈(0，1)

，（k∈Z）（6分）
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=

-

2x

4x+1

，x∈(2k-1，2k)

0，x=2k，2k±1

2x

4x+1

，x∈(2k，2k+1)

，（k∈Z）．
（3）∵x∈（0，1）
设m=

2x

4x+1

=

1

2x+

1

2x

，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
当x=0，1时，m=0，
即当x∈[0，1]时，m∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}．（14分）
∴当x∈[-1，1]时，|f（x）|∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}，
若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，
则实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（0，

2

5

）∪（

1

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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