已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f‘（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；（III）若关于x的方程f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数x∈[

1

6

，

1

2

]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

试题来源：焦作模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，令f'（x）=0，得x=

1

3

或x=-1（舍）
当0≤x＜

1

3

时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当

1

3

＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(

1

3

)=ln3-

1

6

是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln

3

2+3x

对x∈[

1

6

，

1

2

]恒成立
若ln

3

2+3x

＞0即x∈[

1

6

，

1

3

)恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln

3

2+3x

或a＜lnx+ln

3

2+3x

设h(x)=lnx-ln

3

2+3x

= ln

2x+3x2

3

；g(x)=lnx+ln

3

2+3x

= ln

3

2+3x

依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[

1

3

，

1

2

]恒成立
∵g′(x)=

2

x(2+3x)

＞0，h′(x)=

2+6x

2x+3x2

＞0
∴g（x），h（x）都在[

1

3

，

1

2

]上递增
∴a＞h(

1

2

)或a＜g(

1

3

)
即a＞ln

7

12

或a＜ln

1

3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，
令?(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则?′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

当x∈[0，

7

3

]时，?'（x）＞0，于是?（x）在[0，

7

3

]上递增；当x∈[

7

3

，1]时，?'（x）＜0，于是?（x）在[

7

3

，1]上递减，而?(

7

3

)＞?(0)，?(

7

3

)＞?(1)∴f（x）=-2x+b即?（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于

?(0)=ln2-b≤0

?(

7

3

)ln(2+

7

)-

7

6

+

2

7

3

-b＞0

?(1)=ln5+

1

2

-b≤0

，解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2

7

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：