已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-14，在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直．（1）求常数a，b，c的值；（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-14，在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax⁴+bx²+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-

1

4

，在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1的“分界线”方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=4ax³+2bx+c，
由条件得到：

-4a-2b+c=0

a+b-c+1=-

1

4

-32a-4b+c=-8

，
得到：

a=

1

4

b=

1

2

c=2

（6分）
（2）依题意

1

4

x4+

1

2

x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，（10分）
又因为：f(x)-(2x+1)=

1

4

x4+

1

2

x2≥0，所以f（x）≥2x+1恒成立，
所以：函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1的分界线方程是y=2x+1．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-14，在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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