发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-06 07:30:00
| 试题原文 |
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（Ⅰ）∵f（x）=
设g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），则g′（x）=-xsin x＜0（∵x∈（0，π））． ∴g（x）在（0，π）上为减函数，又∵g（0）=0， ∴x∈（0，π）时，g（x）＜0， ∴f′（x）=
∴f（x）在（0，π）上是减函数．（6分） （Ⅱ）∵（
∴x=3或4时，（
∴（
又0≤a≤
∴0≤a≤1． （Ⅲ）证明：显然当a=0，1或x=0，π时，不等式成立． 当0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等价于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．（10分） 下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a2）sin x=（1-a）2sin x ① 即sin（1-a）x≥（1-a）sin x． ② 亦即
由（1）知
又∵（1-a）x＜x，∴
∴不等式②成立，从而①成立． 又∵（1-2a+a2）sin x＞（1-2a）sin x，∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a）sin x． 综上，∴0≤x≤π且0≤a≤1时，原不等式成立．（14分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x+sinxx．（Ⅰ）判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明之..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。