设函数y=f（x），x∈R．（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）为周期函数．（2）若函数y=f（x）为奇函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x），x∈R．（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x），x∈R．
（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）为周期函数．
（2）若函数y=f（x）为奇函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）是以4a为周期的函数．
（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由图象关于x=a对称得f（2a-x）=f（x），即f（2a+x）=f（-x），
因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），从而f（2a+x）=f（x），所以f（x）是以2a为周期的函数．
（2）若f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，f（-x）=-f（x），
由图象关于直线x=a（a≠0）对称得，f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x）=-f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a为周期的函数．
（3）推广：若函数y=f（x）图象关于点（m，n）对称且关于直线x=a（a≠0）对称，
则函数f（x）是以4（m-a）为周期的周期函数．
由条件图象关于点（m，n）对称，故2n-f（x）=f（2m-x），又图象关于直线x=a（a≠0）对称，f（2a-x）=f（x），
所以，2n-f（2a-x）=f（2m-x），即2n-f（x）=f（2m-2a+x）．
当a=m时，f（x）=n为常值函数，是周期函数．
当a≠m时，由 2n-f（x）=f（2m-2a+x）得：
2n-f（2m-2a+x）=f（4m-4a+x），∴2n-（2n-f（x））=f（4m-4a+x），
因此，f[4（m-a）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（m-a）为周期的函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x），x∈R．（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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