设函数f(x)=x33-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；（2）若x∈[a，3a]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x33-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

x3

3

-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；
（2）若x∈[a，3a]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设切线斜率为k则k=f'（x）=x²-2x-3，当x=1时k最小值为-4．
f（1）=-

20

3

所以切线方程为y+

20

3

=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f'（x）=x²-2x-3＞0，k=f'（x）=x²-2x-3＜0＜0得．
函数f（x）=

x3

3

-x2-3x-3a，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，在（-1，3）减函数
（1）

0＜a＜3a≤3

f(3a)≥0

，无解；
（2）

0＜a＜3＜3a

f(3)≥0

无解；
（3）

a≥3

f(a)≥0

，解得a≥6．综上所述a≥6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x33-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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