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1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．（1）证明数列{an2n}是等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．
（1）证明数列{
an
2n
}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；
（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立；
（3）令cn=nbn（n∈N*），是否存在正常数M，使
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立，并证明你的结论．

  试题来源：黄浦区一模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的奇偶性、周期性



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴
an+1
2n+1
=
an
2n
+
1
2
，
an+1
2n+1
-
an
2n
=
1
2
．…（3分）
∴数列{
an
2n
}是以
a1
2
为首项，公差为
1
2
的等差数列，且
an
2n
=
a1
2
+
1
2
(n-1)．…（5分）
∴an=n?2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）
考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）
再分别令n=1，n=2，得
b1+b2=4
b1+b3=6
，进一步可得
b1=1
d=2
．…（11分）
因此，满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1（n∈N*）．…（12分）
（3）结论：
存在正常数M（只要M＞6即可）使得
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立．（13分）
证明　由（2）知，bn=2n-1，于是，cn=n（2n-1），
cn
an
=
n(2n-1)
n?2n-1
=
2n-1
2n-1
．…（14分）
记A=
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
，则A=
1
20
+
3
21
+
5
22
+…+
2n-3
2n-2
+
2n-1
2n-1
，
1
2
A=
1
21
+
3
22
+
5
23
+…+
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
．此两式相差，得
1
2
A=
1
20
+
2
21
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n-1
-
2n-1
2n
．进一步有A=6-
1
2n-3
-
2n-1
2n-1
＜6．…（18分）
所以，当且仅当正常数M＞6时，
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．（1）证明数列{an2n}是等..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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