已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(12)=32．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax³+bx²+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(

1

2

)=

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即

c=0

3a+2b+c=0

解得

c=0

b=-

3

2

a

∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

-

3a

2

=

3

2

，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤

1

2

或x≥1．
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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