已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a=b=1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知定义在R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

-

1

2

+1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意x∈R恒成立．（4分）
化简整理得（2a-b）?2^2x+（2ab-4）?2^x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴

2a-b=0

2ab-4=0

，∴

a=-1

b=-2

（舍）或

a=1

b=2

，∴

a=1

b=2

．（8分）
另∵f（x）是定义在R的奇函数，∴

f(0)=0

f(-1)+f(1)=0

，，
∴

a=1

b=2

，验证满足，∴

a=1

b=2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；（12分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞

1

2

对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a=b=1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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