已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f‘（x），满足0＜f‘（x）＜2且f‘（x）≠1，常数C1是方程f（x）-x=0的实根，常数C2是方程f（x）-2x=0的实根．（1）若对任意[a，b]?I，存在xo∈（a，b）使等-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f‘（x），满足0＜f‘（x）＜2且f‘..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足0＜f'（x）＜2且f'（x）≠1，常数C₁是方程f（x）-x=0的实根，常数C₂是方程f（x）-2x=0的实根．
（1）若对任意[a，b]?I，存在x_o∈（a，b）使等式

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立．证明：方程f（x）-x=0有且只有一个实根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x；
（3）若|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）假设存在另一根m（m≠c₁）即f（m）=m，f（c₁）=c₁，则

f(m)-f(c1)

m-c1

=

m-c1

=1，与

f(m)-f(c1)

m-c1

=f’（x₀）≠1矛盾，所以假设错误，原命题结论正确．
（2）设F（x）=f（x）-2x，则F’（x）=f’（x）-2＜0，∴F（x）在（c₂，+∞）单调递减，
∴F（x）＜F（c₂）=f（c₂）-2c₂=0∴f（x）＜2x
（3）不妨设x₁≤x₂，①当x₁=x₂时，显然成立．
②当x₁＜x₂时，由（Ⅱ）知f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＞2x₁-2x₂
又∵f’（x）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|=2|x₂-c₁-（x₁-c₁）|≤2|x₂-c₁|+2|x₁-c₁|≤2+2=4，
所以|f（x₂）-f（x₁）|≤4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f‘（x），满足0＜f‘（x）＜2且f‘..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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