设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³； ③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是 ______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，
故①正确．
当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正确．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
故③正确．
∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．
故正确的命题有 ①②③④，
故答案选 ①②③④．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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