已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25，①求函数f（x）的解析式；②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；③解关于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①依题意得

f(0)=0

f(

1

2

)=

2

5

，即

b=0

1

2

a+b

1+

1

4

=

2

5

，解得：

a=1

b=0

．
∴f（x）=

x

1+x2

．
②f（x）在（-1，1）上是增函数，
证明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
③令log₂^x=t，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
转化为f（t-1）+f（t）＜0?f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴-1＜t-1＜-t＜1?0＜t＜

1

2

．
∴0＜log₂^x＜

1

2

?1＜x＜

2

．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集为（1，

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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