已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

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x3-ax+b，其中实数a，b是常数．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
（Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f′（x₂），求实数b的取值范围．

试题来源：中山一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9个函数，即基本事件的总数为9个．
若f（1）≥0，得到

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-a+b≥0，即a≤b+

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：①当a=0时，b=0，1，2都满足；②当a=1时，b=1，2满足；③当a=2时，b=2满足．
故满足：“f（1）≥0”的事件A包括6个基本事件，故P（A）=

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=

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．
（II）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=

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x3-ax，f^′（x）=x²-a．
①当a≤-1时，f^′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，∴g（a）=f（-1）=-

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+a；
②当a≥1时，∵x∈[-1，1]，∴f^′（x）=x²-a≤0，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（a）=f（1）=

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-a．
（Ⅲ）当a=1时，f(x)=

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x3-x+b，∴f^′（x）=x²-1，当x∈（0，1]时，f^′（x）＜0；当x∈（1，2]时，f^′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增，即f(x)min=f(1)=-

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+b．
又∵f（0）=b，f(2)=

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+b＞f(0)，当x∈[0，2]时，f(x)∈[-

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+b，

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+b]．
而f^′（x）=x²-1在[0，2]上单调递增，f'（x）∈[-1，3]，
且对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂），
∴f（x）的值域?f^′（x）的值域，即[-

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+b，

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+b]?[-1，3]．
∴-

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+b≥-1且

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+b≤3，解得-

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≤b≤

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3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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