已知函数f(x)=lnx+ax-a(a∈R)（I）求f（x）的单调区间；（II）求证：不等式1lnx-1x-1＜12对一切x∈(1，2)恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx+ax-a(a∈R)（I）求f（x）的单调区间；（II）求证：不等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+

a

x

-a(a∈R)
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求证：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

对一切x∈(1，2)恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）求导函数，可得f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数，函数的单调增区间为（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）；
（II）证明：设f(x)=

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

，求导函数，可得f'（x）=-

1

xln2x

+

1

(x-1)2

=

(x-1)2-xln2x

x(x-1)2ln2x

令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x-lnx-1)

x

，
设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，2）上单调增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上单调增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上单调增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调减，f（x）＜f（2）＜0，
∴

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

＜0
∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+ax-a(a∈R)（I）求f（x）的单调区间；（II）求证：不等..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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