已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x1＞0，x2＞0，记f(t)=(1x1-x1)(1x2-x2)．（1）求出k与t之间的关系；（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；-数学试题及答案

1、试题题目：已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知x₁，x₂是关于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x₁＞0，x₂＞0，记f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)．
（1）求出k与t之间的关系；
（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；
（3）解不等式：f（t）≤4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得

k2-4t≥0

x1+x2=k＞0

x1?x2=t＞0

?0＜t≤

k2

4

（4分）
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤

k2

4

，k＞0}，f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2
当函数f（t）在定义域上单调递增时，k≥1；
当函数f（t）在定义域上单调递减时，0＜k≤2

5

-2

∴当f（t）在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为(0，2

5

-2

]∪[1，+∞)．（10分）
（3）∵

k2-4t≥0

x1+x2=k＞0

x1?x2=t＞0

∴f(t)=(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=t+

(1-k2)

t

+2≤4
∴t²-2t+1-k²=[t-（1-k）][t-（1+k）]≤0?1-k≤t≤1+k，
又0＜t≤

k2

4

，k＞0，（12分）
①当0＜k＜-2+2

2

时，t∈?；（13分）
②当-2+2

2

≤k＜1时，1-k≤t≤

k2

4

（14分）
③当1≤k＜2+2

2

时，0＜t≤

k2

4

；（15分）
④当k≥2+2

2

时，0＜t≤1+k（16分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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