已知函数f(x)=lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

试题来源：昌平区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=0时，f′(x)=

x-1

x2

…..（2分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0

g(2)≤0

-

1

2a

≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范围是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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