已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵函数f（x）=

，g（x）=alnx，a∈R．
f′（x）=

，g′（x）=

（x＞0），
由已知得

解得

∴两条曲线交点的坐标为（e²，e）．
切线的斜率为k=f′（e²）=

，
∴切线的方程为y﹣e=

（x﹣e²）．
（2）由条件知h（x）=

﹣alnx（x＞0），
∴h′（x）=

﹣

=

，
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上单调递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上单调递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，
从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②当a≤0时，h′（x）=