已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有，恒成立，若存在求出a的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a≠0时，讨..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数

，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）的最小值；
（Ⅱ）当 a≠0 时，讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x_1^≠x₂，有

，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

试题来源：安徽省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1 时，

∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=﹣2ln2
（Ⅱ）∵

，
∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x_2^∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有

恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要

，
即：f（x₂）﹣ax₂＞f（x₁）﹣ax₁令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数
又函数

．
考查函数

要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
只要﹣1﹣2a≥0，即

，
故存在实数a

时，
对任意的 x₁，x_2^∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有

恒成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a≠0时，讨..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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