已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，求a、b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）

e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

试题来源：山东省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由已知得，

由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）=b，
∴b=1．
又

，

，
∴f（﹣1）＜f（1），即

，得

．
故

，b=1为所求．
（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³﹣2x²+1，f'（x）=3x²﹣4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切线l的斜率

，
∴l的方程为y﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（x﹣x₀）．
又点P（2，1）在l上，
∴1﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴1﹣（x₀³﹣2x₀²+1）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²（2﹣x₀）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²=3x₀²﹣4x₀，即2x₀（x₀﹣2）=0，
∴x₀=0．
∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）
（Ⅲ）解：F（x）=（3x²﹣3ax+6x+1）