已知函数f（x）=[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（Ⅱ）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]
（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

试题来源：山东省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）f′（x）=

[

﹣

]=

∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得
f（3）﹣f（7）=

[3ln5﹣ln1]﹣

[ln625﹣ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，
∴F（x）≥0恒成立
又F′（x）=

=

显然在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立．
∴（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情况讨论（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a﹣1＜0时，显然不可能有（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a﹣1=0时（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）=5x﹣8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a﹣1＞0时，又有两种情况：
①5²+16（a﹣1）（a+1）≤0；
②

且（a﹣1）﹣2²+5×2﹣4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；
由②得a≥﹣

，a﹣1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，
当a≥1时（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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