已知函数f（x）=23x3-12x2-x+1，x∈R（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）已知x∈R，求函数f（sinx）的最大值和最小值．（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=23x3-12x2-x+1，x∈R（1）求函数f（x）的极大值和极小值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）已知x∈R，求函数f（sinx）的最大值和最小值．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解；（1）∵f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，
∴f′（x）=2x²-x-1，
令f′（x）=0，则x=-

1

2

或x=1
由x＜-

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
-

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
故当x=-

1

2

时，函数f（x）的极大值

31

24

当x=1时，函数f（x）的极小值

1

6

（2）令t=sinx，t∈[-1，1]
则f（sinx）=f（t）=

2

3

t3-

1

2

t2-t+1
由（1）可得f（t）在[-1，-

1

2

]上单调递增，在[-

1

2

，1]上单调递减
又∵f（-1）=

5

6

，f（-

1

2

）=

31

24

，f（1）=

1

6

故函数f（sinx）的最大值为

31

24

，最小值为

1

6

（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，
则函数g（x）的极大值

31

24

+a与极小值

1

6

+a同号
即（

31

24

+a）（

1

6

+a）＞0
解得a＜-

31

24

或a＞-

1

6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=23x3-12x2-x+1，x∈R（1）求函数f（x）的极大值和极小值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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