关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为_____

1、试题题目：关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

关于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

关于实数x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有仅有一个正实数解．
令

1

x

=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且
魔方格

仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=

1

3

或t=-1．
又t∈（-1，

1

3

）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（

1

3

，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（

1

3

）=

5

27

．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=

5

27

．
故答案为：a≤0或a=

5

27

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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