设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）-h（x）=0，等价于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-

2

x

=

x-2

2

∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．
又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（2）∵h（x）=x²-x+a在(0，

1

2

)单调递减；(

1

2

，+∞)单调递增
∴f（x）=x²-mlnx也应在(0，

1

2

)单调递减；(

1

2

，+∞)单调递增
∵f′(x)=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，
∴当m≤0时，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且

m

2

=

1

2

，即m=

1

2

，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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