已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值；（2）求证：当x∈R+时，恒有f(1x)=-f(x)；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）的定义域为R⁺，对任意x，y∈R⁺，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R⁺时，恒有f(

1

x

)=-f(x)；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f^-1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f^-1（x）具有的性质，并给出证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）证明：令y=

1

x

，则f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴f(

1

x

)=-f(x)
（3）证明：设任意x，y∈R⁺，且x＜y，

y

x

=a＞1
则f（x）-f（y）=f（x）-f（x?a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）猜想f^-1（x）具有的性质，f^-1（0）=1
证明：因为原函数与反函数关于直线y=x对称，
∵f（1）=0
∴f^-1（0）=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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