定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在f（m+n）=f（m）?f（n）中令m=1，n=0，得：f（1）=f（1）?f（0）
因为f（1）≠0，所以，f（0）=1．
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x₁，x₂∈R，且设x₁＜x₂．
在f（m+n）=f（m）?f（n）中取m+n=x₂，m=x₁，
则f（x₂）=f（x₁）?f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1
为比较f（x₂），f（x₁）的大小，只需考虑fx₁（　　）的正负即可．
在在f（m+n）=f（m）?f（n）中令m=x，n=-x，则得f（x）-f（-x）=1．
∵x＞0时0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）=

1

f(-x)

＞1＞0．
又f（0）=1，所以，综上，可知，对于任意x₁∈R，均有f（x₁）＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
∴函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知函数f（x）在R上单调递减，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t，其中t∈R．
∴k＜（3t²-2t）_min，而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≤

1

3

，
∴k＜-

1

3

，即k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n）..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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