设a∈R，函数f（x）=-1x+a，x＜0x(x-a)-1，x＞0（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a∈R，函数f（x）=-1x+a，x＜0x(x-a)-1，x＞0（Ⅰ）当a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

设a∈R，函数f（x）=

-

1

x

+a，x＜0

x

(x-a)-1，x＞0

（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当x＜0时，f(x)=-

1

x

+2，
因为f′(x)=

1

x2

＞0，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数；
当x＞0时，f(x)=

x

(x-2)-1，f′(x)=

3

2

x

-

1

x

，由f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

3

，
所以f（x）在(

2

3

，+∞)上为增函数，在(0，

2

3

)上为减函数．
综上，f（x）增区间为（-∞，0）和(

2

3

，+∞)，减区间为(0，

2

3

)．
（Ⅱ）当x＜0时，由f（x）＞x-1，得-

1

x

+a＞x-1，即a＞

1

x

+x-1，
设g(x)=

1

x

+x-1，
所以g(x)=-[(-

1

x

)+(-x)]-1≤-2

(-x)?(-

1

x

)

-1=-3（当且仅当x=-1时取等号），
所以当x=-1时，g（x）有最大值-3，
因为对任何x＜0，不等式a＞

1

x

+x-1恒成立，所以a＞-3；
当x＞0时，由f（x）＞x-1，得

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，
设h(x)=x-

x

，则h(x)=x-

x

=(

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以当

x

=

1

2

，即x=

1

4

时，h（x）有最小值-

1

4

，
因为对任何x＞0，不等式a＜x-

x

恒成立，所以a＜-

1

4

．
综上，实数a的取值范围为-3＜a＜-

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a∈R，函数f（x）=-1x+a，x＜0x(x-a)-1，x＞0（Ⅰ）当a..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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