已知点P（x，y）与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证CE?CF为常数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P（x，y）与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，点C的坐..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知点P（x，y）与点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证

CE

?

CF

为常数．

试题来源：武昌区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本题满分12分）
（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为

y

x+

2

与

y

x-

2

，（x≠±

2

），…（2分）
∵点P（x，y）与点A(-

2

，0)，B(

2

，0)连线的斜率之积为1，
∴

y

x+

2

?

y

x-

2

=1，
即y²=x²-2，…（4分）
所求点P的轨迹方程为x²-y²=2，（x≠±

2

）．…（5分）
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）
将它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韦达定理，得

x1+x2=

4k2

k2-1

x1x2=

4k2+2

k2-1

，…（8分）
∴

CE

?

CF

=(x1-1，y1)?(x2-1，y2)
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)?(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）?

4k2+2

k2-1

-（1+2k²）?

4k2

k2-1

+1+4k²
=-1． …（10分）
当直线斜率不存在时，

x2-y2=2

x=2

，解得E（2，

2

），F（2，-

2

），
此时

CE

?

CF

=(1，

2

)?(1，-

2

)=-1． …（12分）
故

CE

?

CF

=-1．
所以

CE

?

CF

为常数-1．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P（x，y）与点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率之积为1，点C的坐..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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