已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F1、F2分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且F1P?F2P的最大值为1，最小值为-2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，直-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F1、F2分别为其左、右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁、F₂分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且

F1P

?

F2P

的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M、N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，
∴

F1P

=(x0+c，y0)，

F2p

=(x0-c，y0)，
∴

F1P

?

F2P

=x02+y02-c2，
∵

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴

F1P

?

F2P

=x02+b2-

b2

a2

x02-c2=

c2

a2

x02+b2-c2．
∵0≤x₀²≤a²，∴b2-c2≤

F1P

?

F2P

≤b2，∴

b2=1

b2-c2=-2

，∴

b2=1

c2=3

，∴a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+m

x2

4

+y2=1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，
化简，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

1+4k2

．
∵AM⊥AN，∴

AM

?

AN

=y1y2+(x1-2) (x2-2)=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

m2-4k2

1+4k2

+

4m2-4

1+4k2

+

16km

1+4k2

+4=0．整理，得12k²+16km+5m²=0，
∴k=-

m

2

或k=-

5

6

m，
当k=-

m

2

时，l：y=-

m

2

mx+m=m(-

x

2

+1)过定点（2，0），不满足题意．
当k=-

5

6

m时，l：y=-

5

6

mx+m=m(-

5

6

x+1)过定点（

6

5

，0）．
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x₀，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，
∴

1-

x02

4

=2-x0，解得x0=

6

5

或2（舍），即此时直线l也过定点（

6

5

，0）．
由①②知，直线l恒过定点（

6

5

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F1、F2分别为其左、右..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：