已知曲线C：x=2cosθy=sinθ（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点．（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：x=2cosθy=sinθ（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知曲线C：

x=2cosθ

y=sinθ

（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点．
（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；
（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连线的垂直平分线，求l的斜率k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）曲线C即：

x2

4

+y²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
则有

x12

4

+y₁²①，

x22

4

+y₂²=1 ②，由①-②可得

x12-x22

4

+y₁²-y₂²=0．
故AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

2x0

4?2y0

=-

x0

4y0

．（2分）
l的方程y-y₀=

4y0

x0

（x-x₀），令y=0，x=

3

4

x₀．（4分）
∵-2＜x₀＜2，∴x∈（-

3

2

，

3

2

），即l在x轴上截距的取值范围为（-

3

2

，

3

2

）．（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x₀，y₀）．由（1）可知k_AB=-

x0

4y0

，∴k=

4y0

x0

．
∵M在直线l上，∴y₀=

4y0

x0

（x₀-1）．∵y₀≠0，∴x₀=

4

3

．（8分）
∵M（x₀，y₀）在椭圆内部．∴

x02

4

+y₀²＜1，即

16

9

4

+y₀²＜1．（10分）
故有-

5

3

＜y₀＜

5

3

且y₀≠0．再由 k=

4y0

x0

=

4y0

4

3

=3y₀．
可得-

5

＜k＜

5

且k≠0，即l的斜率k的取值范围为{k|-

5

＜k＜

5

且k≠0}．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：x=2cosθy=sinθ（θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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